西交利物浦大学绝大多数课程使用美英等国的原版教材，用英语进行教学和学习。在一年级的微积分课程中，我们主要使用了美国Pearson Education公司出版的由Dale Varberg等编写的微积分教材（国际版）。2008年，笔者受高教出版社之邀，还改编了另一本由Howard Anton等编写的美国微积分教材。在接触和使用美国微积分教材的过程中，对这类教材的优缺点有了较深入的了解。 这些年来，高教出版、机械工业出版社等一些国内出版社影印或翻译出版了不少美国等西方国家流行的微积分教材，为我们进行微积分的教学和教材改革，提供了有价值的参考材料。国内一些高校还采用了美国的某些原版教材作为开展双语教学的教材。我们深感，为了用好这些国外教材，有必要对中美同类教材进行较为深入的分析比较，得出一些比较具体而不是泛泛而谈的、比较深入而不是笼统一般的结论，做一个使用国外教材的“明白人”。我们在这几年的教学实践中，一直进行这方面的工作，就如何集双方优点和长处为我所用，优化教学内容，取得了一些经验和体会。本文拟从教材内容、相关知识点的组织及习题配置等方面，对中美教材进行一些具体的分析比较，并提出我们的看法。
用作比较的美国微积分教材有4本，它们是：
(1)Thomas Calculus (10th Edition), by Ross Finney et al, 2001
(2)Calculus (5th Edition), by James Stewart, 2003
(3)Calculus (8th Edition), by Dale Varberg et al, 2000
(4)Calculus (Early Transcendentals, 8th Edition), by Howard Anton et al,2005
这些教材在海外有较大影响，历史久，版次多，采用面广，属流行教材，其针对的读者大体相当于我国的工科、管理类专业学生。用作比较的中国微积分教材就选择当前国内使用面最广的同济编《高等数学》。比较时以微积分教材所包含的内容目录为线索，逐个地进行对比，随后作一些简单评述。又，美国教材都包含平面解析几何的内容，而这部分内容在我国属中学教学内容，故不列入比较范围。
1.函数
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Ÿ 定义的引入以及几类具体函数的性质的介绍比较简略 Ÿ 一元函数的图形表示只介绍坐标曲线，不强调数值表示；二元函数的等高线表示不突出 Ÿ 函数的一般性质一次性集中介绍 Ÿ 出初等函数的概念 |
Ÿ 引入定义时用丰富的实例铺垫 Ÿ 对函数的图形表示，介绍了多种形式：一元函数 Ÿ 比较强调函数的数值表示 Ÿ 对具体函数的性质的讨论比较详细，但对函数的一般性质则分散处理 Ÿ 常把对数函数和指数函数推迟到定积分一章中去定义 Ÿ 一般不出(或不突出)初等函数的概念 |
简单评述：
Ÿ 美国教材引入函数定义时的丰富实例和强调函数的多种表示形式，特别如数值表示和二元函数的等高线表示，对培养学生的应用能力有益。
Ÿ 美国教材把对数和指数函数放到定积分一章介绍（出于一种我们认为并非很必要的严格性的考虑），造成涉及这两类函数的极限、求导、求积分都要放到后面去处理，比较费时。事实上，近来某些美国教材已作出改变，如教材(2)和(4)已把涉及这两类函数的部分内容提前处理（编者在书的前言甚至封面上注明early transcendentals，即为此义）。
Ÿ 美国教材不突出初等函数的概念，不利于学生对常见函数形成整体印象，也不利于函数的连续性、可导性和可积性的一些重要结论的表述。
2.极限和连续
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Ÿ 不突出极限的“直观定义”，只以“精确定义”作为正式定义 Ÿ 数列极限和函数极限放在一起介绍 Ÿ 介绍夹逼准则和单调有界收敛准则，严格证明了两个重要极限 Ÿ 无穷小及其阶的比较是重要内容且广泛应用 Ÿ 出初等函数连续性的结论，并集中介绍闭区间上连续函数的性质 |
Ÿ 极限定义的两步处理：“直观定义”®“精确定义”，分成相互独立的两节介绍，后者可作为选学内容 Ÿ 数列极限及单调有界收敛准则放到无穷级数一章（一元微积分学之后）才介绍 Ÿ e的极限无法证明，只能数值验证，甚至暂不介绍这个极限，但介绍 e 的实际背景 Ÿ 回避无穷小的概念，更不讲无穷小的比较 Ÿ 不出初等函数连续性的结论，闭区间上连续函数的性质分散出现 |
简单评述：
Ÿ 两种教材在这部分内容上的选取和处理方式差别较大，并进而造成两者对一元微积分学的后继内容的处理方式上的许多不同。
Ÿ 美国教材对极限定义的两步处理法便于学生接受和教学上灵活处理；在介绍连续的定义和性质时有很多生动的实例和例题，利于学生加深印象。
Ÿ 美国教材把数列极限和单调有界收敛准则放入级数一章，造成e的重要极限无法及时证明，累及对数和指数函数的导数公式无法及时证明（尽管有的教材已把这两类函数提前处理，但导数公式的证明仍然滞后）。但对 e 的来源和实际背景（比如连续复利的计算）交代的较清楚。
Ÿ 美国教材回避无穷小的概念，不讲无穷小的比较，更没有等价无穷小的替换，不仅使学生少了一种求极限的有效方法，而且造成诸多后续概念讲解时的不便。
以上两点是造成美国教材使用不便的重要原因。
Ÿ 美国教材不出初等函数连续性的一般结论，不便于学生对最常见的连续函数类形成一个完整概念。
3.导数及其应用
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Ÿ 五类基本初等函数的导数公式全部证明，又把显函数、隐函数和参数方程确定的函数的导数紧接在一起介绍，一次性地把函数求导问题彻底解决 Ÿ 微分中值定理部分，介绍并证明了费马、拉格朗日、柯西、泰勒等4个定理 Ÿ 作为导数应用的一个方面，洛必达法则出得早并严格证明 Ÿ 方程的近似解处理得比较简略，不如美国教材介绍得那么仔细 |
Ÿ 突出导数作为变化率的实际意义其各方面的应用，比如经济学中的边际问题和各类相关变化率，介绍大量实例和习题 Ÿ 先介绍显函数和隐函数求导法，参数方程求导到后面解析几何中才附带介绍 Ÿ 介绍 Ÿ 一般只出费马和拉格朗日定理，泰勒定理放在级数部分，柯西定理入附录 Ÿ 洛必达法则有两种编排方式：一种出得较晚，如教材(1)、(3)放在积分学部分，待 Ÿ 对函数图形的描绘，突出技术与导数方法的互动 Ÿ 极值与优化、建模结合紧密，实例量大、面广、生动（一般都有经济管理和生物医药方面的例题） |
简单评述：
Ÿ 这部分内容两者大体相同，但中国教材处理紧凑，理论性较强，逻辑较严谨，美国教材富于直观，应用性较强。美国教材通过大量实例说明导数作为变化率的实际意义，突出了导数在不同领域中的应用，给学生印象深刻，又将极值问题与建模紧密结合，引进大量来自客观实际的应用问题，有利于提高学生应用导数解决实际问题的意识和能力，激发学生的学习兴趣。
Ÿ 美国教材将泰勒定理放入后面级数部分才介绍，可减少学生这一阶段的学习困难，对基础较差的学生来说，也不失为一种可行的处理方法。
Ÿ 一些美国教材将洛必达法则放到积分学后面才出，这是他们将初等函数分成前后两段处理造成的后果，不利于学生尽早完整掌握一元函数极限的求法并加以应用。
4.微分和全微分
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Ÿ 用等式 Ÿ 定义自变量的微分为自变量的增量 Ÿ 出微分形式的不变性 |
Ÿ 从函数的“局部可线性化”出发定义函数的可微性，强调“可微性即为局部可线性化” Ÿ 从图形和数值上突出“局部可线性化”的含义 Ÿ 直接定义微分 Ÿ 把自变量的微分 Ÿ 不出微分形式的不变性 |
简单评述：
美国教材中由于不引入无穷小和小
记号，故不采用中国教材中微分的定义方式，但他们突出局部线性逼近的处理方式，更能揭示函数可微性的本质，可资借鉴。
5.一元函数积分学
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中 |
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Ÿ 按不定积分、定积分、定积分应用三块内容，逐块进行讲解 Ÿ 不强调按定义求定积分和数值积分方法 Ÿ 对积分术作淡化处理，难度要求有所降低 |
Ÿ 不定积分和定积分的内容交错出现。积分术(特别是分部积分法、部分分式法、三角代换法等) 安排在学生学完“定积分的应用”后才单独列为一部分介绍。 Ÿ 比较突出并详细介绍按定义求定积分及数值积分(包括误差估计)的方法 Ÿ 积分术作详细介绍，包括用软件积分的方法，甚至蒙特卡罗方法，对几何应用中元素的不同取法也作详尽、甚至显得啰嗦的介绍 Ÿ 用积分上限函数定义 |
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简单评述：
对这一部分内容的处理，中国教材的条理较清楚，而美国教材更加突出定积分的概念，有其合理之处。但不定积分和定积分的概念前后交叉、重复处较多，且对各种积分术的介绍过于详尽，对定积分几何应用中各种元素的取法显得啰嗦多余。有的教材如(1)和(3)，还把洛必达法则也放到这一部分介绍，脉络不清。两者相比，中国教材更便于教学且效能较高。但美国教材对两个微积分基本定理的引入，对它们的实际意义、物理背景及其重要作用的阐述详细且通俗易懂，例题中有一些新颖的图形题对学生学习相关知识很有帮助。多种不同的积分方法（包括使用软件积分的方法，概率方法等）的介绍有利于开拓学生眼界。
6.向量和解析几何
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不含平面解析几何(中学已学过) 不突出介绍曲线的向量式方程，不突出甚至不介绍向量值函数的导数及其力学解释 |
平面解析几何详述，其中对极坐标曲线处理得比较突出，包括它的斜率、长度、所围面积都集中介绍 向量值函数的导数和积分是重要内容，包括空间曲线运动的速度、加速度的表示、TNB标架、开普勒定律的数学证明等 |
简单评述：
两者在向量代数和空间解析几何方面的内容基本相同。国内微积分教材一般不介绍向量值函数的导数及其物理意义，造成学生处理向量值函数的能力的薄弱，并影响到后继内容的学习。最近修订的高等数学教学基本要求，已稍许提高了这方面的要求。国内一些新编的教材，包括同济编《高等数学》和《微积分》也写进了这方面的部分内容供学生选学。
7.多元函数微分学
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二重极限用聚点定义 多数中国教材中的方向导数是“单侧极限” 出隐函数存在定理(包括方程组情形) 拉格朗日乘子法用隐函数存在定理证明 |
二元函数的几何表示中非常突出等高线图及其应用，定义极限时不出“聚点”概念 方向导数是“双侧极限” 隐函数存在定理弱化处理，只推导求导公式；一般不包括方程组情形下的求导公式 突出梯度及其应用 对拉格朗日乘子法略去分析证明，但作直观的几何说明 |
简单评述：
这部分内容中国教材比美国教材要多一些，但后者突出等量线(面)、梯度和向量值函数的应用，突出对极值条件和拉格朗日乘子法的几何解释，与我们习惯的处理方法有互补作用，可供借鉴。
8.重积分及其应用
本部分内容包括重积分的概念、计算法和应用等，就知识点的分布及对学生的要求而言，两种教材的差异不大。美国教材推导二重积分计算公式时，一般出富布尼定理(先矩形区域后一般区域)，但也只用平行截面法说明定理结论。他们一般不讲三重积分的“先重后单”积分法，但把一般换元法作为正式内容介绍。应用部分突出矩的计算，与物理的结合比较紧密。
9.曲线和曲面积分
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Ÿ 明确区分两类不同的积分：分别定义，给以不同名称 Ÿ 在第二类曲线、曲面积分中，主要突出积分的数量函数表示形式 Ÿ 在曲面积分中，一般不介绍积分曲面用参数方程表示时的计算方法 Ÿ 场论内容要求不高 |
Ÿ 不明确区分两类积分，把第二类积分归结到第一类积分的形式加以定义 Ÿ 突出第二类积分的向量表示形式，突出与场论分析的联系，突出格林、高斯、斯托克斯三个公式和梯度、散度、旋度三个度的场论意义，场论内容要求较高 Ÿ 介绍当积分曲面用参数方程表示时的曲面积分的计算法 |
简单评述：
对这部分内容，两种教材的取材和处理方式差异较大，要求也不一样。中国教材明确区分两类积分较易学习，突出第二类曲线、曲面积分的数量函数表示形式，这种处理方式比较便于计算，但却掩盖了第二类曲线、曲面积分的物理意义；而美国教材的取材和处理方式站得比较高，突出了向量分析和第二类曲线、曲面积分的场论意义，突出了参数曲面，紧密结合物理应用，内容和方法都要现代一些，但教起来有一定难度。
10.微分方程
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Ÿ 单独设一章，集中处理 Ÿ 对有关术语，线性方程的解的结构介绍得较为完整 Ÿ 突出解法，而不突出应用 |
Ÿ 分成前后两段安排：一阶方程(可分离变量和线性方程)插在在反导数和定积分的内容中；二阶线性方程在全书最后单独成一章介绍(教材(1)不讲二阶方程) Ÿ 不出可降阶方程，变量代换法要求低，突出线性方程 Ÿ 一般讲方向场和微分方程的数值解法（欧拉折线法） Ÿ 突出数学建模，突出方程的物理意义，实际应用例子面广、量大、生动 |
简单评述：
中国教材涉及的方程类型和解法比美国教材多些，对用到的理论也尽量作介绍，自身体系较完整；而美国教材突出一阶方程与不定积分和定积分的内在联系，突出数学建模和实际应用，往往采取“以应用带出方程”的编写方法，方程与实际背景的联系紧密。
11.无穷级数
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中 |
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Ÿ 一般编排在全书的最后部分 Ÿ 积分审敛法弱化处理，只在习题中介绍 Ÿ 包含傅里叶级数 |
Ÿ 一般编排在一元微积分学之后，出得较早 Ÿ 数列及其极限，单调有界收敛准则，泰勒公式等内容都放入常数项级数这一部分中 Ÿ 突出积分审敛法 Ÿ 一般不含傅里叶级数(教材(1)稍许介绍，教材(2)放入附录) Ÿ 突出数值计算和余项估计 |
简单评述：
除了傅里叶级数这一部分内容外，两种教材在无穷级数方面的差异不大，但美国教材比较突出数值计算，并有很多级数理论发展过程中的轶闻趣事和生动有趣的应用例子，可供吸取。
12.习题配置
美国教材的习题配置是很有特点的：
一是数量大，类型多。比如教材3中的习题总量达6100道 (不包括平面解析几何部分的习题)，而我们国内的通用教材中的习题数量一般不足2000道，两者之比为3:1强。习题类型也多，从最简单的概念复习题到难度各别的计算题、证明题和应用题，一直到综合性较强的探索研究题。除此以外，还有用不同手段(计算器、图形计算器和数学软件)解决的各种练习。这么多的类型不同、要求各异、训练内容各有侧重的习题出现在教材中，为教师在教学中提供了充分的选择余地，当然另一方面，也对教师驾驭教材的能力提出了更高的要求。
二是应用题特别丰富，覆盖面广，所用数据来自实际，有很强的真实感。不少应用题及时反映了当代科技发展的新成果，贴近时代发展步伐
以教材1中一元函数微分学第5节的习题为例，应用题部分有几何应用题30道，物理应用题12道，经济管理应用题8道，生物医药应用题3道，如果加上该节所在的第3章的总习题中的有关应用题，数量则更大。
美国教材中的应用题的一大特色是其实际背景强，所引用的材料大都来自实际，有真实感。比如关于函数的平均值，它引用的是某个真实城市某昼夜的温度变化数据；关于人口的增长模型，引用的某个州某段时期内的人口变化数据。而中国教材中的不少应用题，加工的痕迹明显，离开实际很远，不能算是真正的应用题。
应用题与现代科技结合比较紧密。在一元函数和无穷级数的应用题中，我们能见到诸如航天对心脏功能的影响、机翼形状的优化、赛车的最佳外形设计、血管分叉结构对血流量的影响、虹的形成机制与位置、摄入药物后体内残留药量的计算、核废料的安全处理、DNA分子的双螺旋结构对分子发生缺损时便于复原的作用等等题目，引人入胜。
美国教材中还有一类称作“project”的探索研究习题。它们有较强的综合性，一般需要结合使用计算机解决，结论也比较开放，同时与微积分知识的结合也比较紧密。编者把这类题分解为若干步骤，由简到繁，逐步拓广和加大难度，并给学生以发挥创造性的空间。
三是很多题目生动有趣，能提高学生的学习兴趣，还有不少学科的交叉题，有利于拓宽学生解决问题的思路。
总的说来，中美工科类微积分教材在习题的风格和设计立意上有着明显的差异。就风格而言，中国教材的习题比较单一，从数学上“加工”得比较正规；而美国教材的习题形式比较多样，有些题并不那么“正规”；就设计立意而言，我国教材的习题多以知识立意为主，立足于对所学的知识进行复习、巩固和推广，比较严谨；而美国教材的不少习题以能力立意为主，更注重应用数学的能力的培养，比较活泼。两种风格和立意的习题各有优缺点，具有互补性。
通过以上对中美流行的工科类微积分教材的基本内容所作的粗略比较，可得到如下的总的印象：
就内容体系和所覆盖的重要知识点来说，两种教材的差异并不很大(平面解析几何的内容除外)，不相重合的内容并不多，比较明显的差异表现在对同样的内容往往有不同的处理方式，突出不同的重点。相对而言，中国教材比较注重逻辑的严谨和表达形式的数学化（这也许是前苏联数学教材的印记吧），而美国教材则比较注重实用性和表达形式的生动。就微积分的“附加内容”而言(例如说明概念时的通俗描述，与技术的结合，数学史资料，与其他数学分支的联系等)，美国教材远多于中国教材；就贴近应用的程度而言，美国教材远高于中国教材。
中国教材的编排较为紧凑，条理较为清楚，重复少，自封闭性较好，在相同的教学时数内，教师较易教学，基础好的学生较易从整体上掌握微积分的理论。美国教材取材广泛、风格活泼、资源丰富，突出与数学建模的结合，还从数值方法、概率统计、数论乃至分型几何等其它数学分支中吸取一些相关的问题和方法，并充分利用现代信息手段来扩充教学资源，有利于提高学生的学习兴趣，开发学生的灵活性、想象力和创造力。
我们觉得，笼统地说中国教材好，或美国教材好，也许并不准确，应该是各有长处与短处，而且要视具体的教学对象和教学条件而定，此外与教师驾驭教材的能力也大有关系。但无论如何，在国内大量微积分教材基本趋同的情况下，美国教材为我们提供了一个颇为不同的参照系，有重要的借鉴作用。
我们西交利物浦大学的数学基础课教师在使用美国原版教材的教学实践中，本着交流互补、融合提高的态度，充分考虑本校学生的学习目标和实际情况，加强讲课内容、配套习题和测试内容的建设和不断完善，逐渐形成了融合中美教材优点、带有自己特色的微积分教学体系和内容，有效提高了微积分课程的教学效能。当然，我们深知这方面还任重道远，需坚持长期努力。
